Адаптивная модель экспоненциального сглаживания

Введение

В данной статье буду рассматривать модель экспоненциального сглаживания временного ряда. Эта модель является одной из самых распространенных моделей для прогнозирования значений временного ряда не содержащего трендов и сезонности. В статье будет рассмотрена теоретическая часть, практика, а также реализация этой модели на одном из языков программирования.

Теоретическая часть.

Экспоненциальное сглаживание один из распространенных приемов выравнивания временного ряда. Данный прием основан на расчете экспоненциальных средних, и является простейшей адаптивной моделью.

Модель вычисляется рекурентной формулой:

$$S_t = \alpha x_t + \beta S_{t-1}$$

где

$S_t$ - значение экспоненциальной средней в момент t

$\alpha$ - параметр сглаживания

$\beta = 1 - \alpha$

Исходя из вышеописанного можно переписать $S_t$, следующим образом:

$$S_t = S_{t-1} + \alpha (x_t - S_{t-1})$$

После рекурсивного применения формулы для $S_t$, её можно выразаить через значения временного ряда $x$:

$$S_t = \alpha \sum_{i=0}^{N-1}\beta^{i} x_{t-i} + \beta^{N} S_0$$

где:

$N$ - кол-во членов ряда

$S_0$ - некоторая величина, характерезующая начальные условия, первого применения формулы.

По сути $S_t$ является средневзвешанной суммой всех членов ряда и соответственно чем старше компонента, т.е. находится ближе к началу ряда, тем меньший вес будет иметь она. Кроме того слагаемое $x_t - S_{t-1}$ по сути является погрешностью прогноза, соответственно каждое последующее значение и является корректировкой предыдущего.

Поэтому рекурентная для прогнозирования:

$$S_{t+d} = \alpha x_t + (1 - \alpha)\widehat{x_t}$$,

где

$x_t$ - фактическое значение на момент $t$,

$\widehat{x_t}$ - прогнозное значение на момент $t$,

Надо пояснить, что для применения данного сглаживание всегда необходимо иметь какое-то значение $S_0$, для расчета первого сглаженного значения, и в большинстве случаев это может быть обычная срденяя N-го количества начальных элементов.

Важным моментом в поиске наилучшей модели является подбор коэффициента $\alpha$. Как показывает практика данный коэффициент зависит от срока на который требуется получить прогноз. Для небольшого срока $\alpha$ должен быть ближе к 1, т. к. таким образом последним элементам последовательности будет придаваться больший вес. Для получения среднесрочных прогнозов начальные элементы последовательности должны иметь больший вес и, соответственно, $\alpha$ должен быть ближе 0.

Однако необходимо помнить что, чем $\alpha$ ближе к 1, тем более вероятно что временной ряд имеет тренд(тенденцию) или сезонные колебания, а при таких условиях от модели экспоненциального сглаживая будет сложно ждать хороших результатов и надо будет подобрать более подходящую модель.

Также не мало важно знать как реагирует модель на типичные нарушения стационарности типа импульсов или сутпенчатого изменения. Импульс - это однократное событие вызванное внешним факторам. Например яркий пример имульса это нелицеприятный ответ Элона Маска анлитикам, на предмет анализа отчетночти Tesla Motors, когда акции одномоментно просели на 5%. Ступенчатые изменения - долговременное изменение структуры ряда. Например изменение уровня производства из-за появления какой-либо технологии.

Из описания импульсов и ступенчатых изменений следует, что хорошая модель должна хорошо сглаживать импульсы и быстро реагировать на изменения. Из выше описанного можно сделать вывод для адекватной реакции на импульсы первые члены последовательности должны иметь вес выше последних, а для это лучше использовать малое значение коэффициента сглаживания $\alpha$. Для сглаживаний ступенчатых изменений наборот большее $\alpha$ предпочтительнее, так как больший вес должны иметь последние элементы

При этом необхлдимо еще раз отметить, что если ряд имеет тенденцую роста (линейную или праболическую) от данной модели нельзя ожидать хороших прогнозов и лучше использовать другую модель.

Практика.

Для практической иллюстрации применения данной модели будет использоваться цена закрытия Bitcoin за последние 2 месяца (01.03.2018-13.05.2018).

В качестве значения $S_0$ будет использоваться среднее арифметическое первых 10 членов последовательности (с 01.03.2018 по 10.03.2018)

$S_0 = \frac{10951,00+11086,40+11489,70+11512,60+11573,30+10779,90+9965,57+9395,01+9337,55+8866,00}{10} = 10495,7$

На основе фактических данных эмпирическим путем был подобран коэффициент $\alpha = 0,43$

На основе полученной информации получился следующий прогноз:

Реализация на С++

Реализация функции данной модели выглядит следующим образом:

const float ErrIncorrectAlpha = -1.0;

/*
Реализация молели экспоненциального сглаживания.

@param[in] time_series Временной ряд.
@param[in] alpha Коэффициент сглаживания между 0 и 1.
@param[in] s0 инициализированное первое значение S.

@return Прогнозное значение.
*/
float exponential_smoothing(std::list<float> time_series, float alpha, float s0) {
  if (alpha > 1 || alpha < 0) {
	// если параметр alpha задан не корректно, возвращается ошибка
	  return ErrIncorrectAlpha;
	}

  float predict_value = s0;
  float fact_value;
  
  for(std::list<float>::iterator r = time_series.begin(); r != time_series.end(); r++){
	fact_value = *r;
	predict_value = alpha * fact_value + (1 - alpha) * predict_value;
  }
  
  return predict_value;
}

На вход данная функция принимает временной ряд, начальное значение $S_0$, и параметр $\alpha$. На выходе она выведет следующее прогноное значение.

Код тестовой программы:

#include <iostream>
#include <list>

const float ErrIncorrectAlpha = -1.0;

/*
Реализация молели экспоненциального сглаживания.

@param[in] time_series Временной ряд.
@param[in] alpha Коэффициент сглаживания между 0 и 1.
@param[in] s0 инициализированное первое значение S.

@return Прогнозное значение.
*/
float exponential_smoothing(std::list<float> time_series, float alpha, float s0) {
  if (alpha > 1 || alpha < 0) {
	// если параметр alpha задан не корректно, возвращается ошибка
	  return ErrIncorrectAlpha;
	}

  float predict_value = s0;
  float fact_value;
  
  for(std::list<float>::iterator r = time_series.begin(); r != time_series.end(); r++){
	fact_value = *r;
	predict_value = alpha * fact_value + (1 - alpha) * predict_value;
  }
  
  return predict_value;
}

int main() 
{
  // тестовые значения
  std::list<float> ts = {9325.18, 9043.94, 8441.49, 8504.89};
  float predict_value;
  
  // строим модель с alpha=0.43 и s0 = 9552.29
  predict_value = exponential_smoothing(ts, 0.43, 9552.29);

  if (predict_value == ErrIncorrectAlpha) {
	  std::cout << "Alpha must be between 0 and 1" << std::endl;
  } else {
	std::cout << "Predict value: " << predict_value << std::endl;
  }
  
	
  return 0; 
}

Вывод

Была построена и разобрана адаптивная модель экспоненциального сглаживания для прогнозирования цены Bitcoin. В итоге средняя ошибка прогноза получившийся модели находится в районе 4% что является хорошим результатом.

В последующих статьях я буду рассматривать другие адаптивные модели для рядов с трендом и сезонностью.

Ссылки

1. Экспоненциальное сглаживание
2. Лукашин Ю. П. - Адаптивные методы краткосрочного прогнозирования временных рядов.
3. Bitcoin - CoinMarketCap
4. Gist Exponential smoothing